时滞微分方程是一类重要的数学模型,在诸如工程、航空、贸易、管理等自然科学的科研与生产中,其模型建立比常微分方程更接近客观现实。广大数学工作者倾注大量心血研究时滞泛函微分方程的相关理论,推动了时滞微分方程理论的发展,为解决一些实际问题提供了必要的理论基础。周期解的存在性问题是微分方程定性理论的一个非常重要的分支,周期解存在性理论在许多实际问题中有着极其广泛的应用。关于微分方程周期解的研究已取得了一些显著成果,然而对于具有p-Laplacian算子的泛函微分方程周期解问题研究的要少得多,尤其是分布时滞型的。本文的前半部分探讨了一类具时滞的脉冲微分方程(如下)的周期解问题。其初始条件为：(φ1(ξ),φ2(ξ),φ3(ξ))∈C([-τ,0],R+3), φi(0)>0,i=1,2,3利用时滞微分方程的基本理论及脉冲微分方程的比较定理,推导出该系统的周期解是全局吸引的,也得到了系统的持久性和解的一致有界性结论。为实际生态系统中害虫控制提供了更为可靠的依据,具有较强的实际应用背景。本文的后半部分研究了一类变时滞的三阶p-Laplacian中立型微分方程(φp((x(t)-cx(t-σ))"))’+f1(x(t))x’(t)+f2(x’(t))x"(t)+g(t,x(t),x(t-τ1(t)),x’(t-τ2(t)))=e(t)的周期解问题。采用了Mawhin重合度理论中的延拓定理,运用了一些新的分析方法,得到了上述方程存在T-周期解的若干新结论,推广了相关的已有结果。本文的工作主要分为四个章节。第一章节,首先介绍时滞微分方程动力系统、脉冲微分系统、周期解的存在性问题的发展背景以及研究现状,然后介绍了本文所要研究的问题和进展,以及获得的主要结论。第二章节,主要探讨了一类带时滞的脉冲微分方程,证明在一定条件下周期解是全局吸引的。第三章节,主要研究了一类多时滞的三阶p-Laplacian中立型微分方程的周期解问题。第四章节,总结本文所做的一些工作,提出了尚需进一步研究的几个问题。
