几类不适定数学物理反问题的求解方法研究

高维圆柱形区域论文 Laplace方程Cauchy问题论文 Fourier方法论文修正的Tikho

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在实际问题的推动下,反问题成为应用数学领域发展最快的分支之一.反问题大多具有不适定的特点,特别是数据的微小扰动可能导致解的巨大变化,如何恢复解的稳定性成为不适定问题研究的主流方向.本文主要研究了工业领域中某些高维、多变量、变系数等困难数学物理反问题的稳定求解方法.本文考虑了两类高维圆柱形区域上的Laplace方程Cauchy问题.分别采用Fourier方法和修正的Tikhonov正则化方法求解了半无界柱体上的Laplace方程Cauchy问题,并得到了Holder型的误差估计.利用截断正则化方法结合先验和后验正则化参数选取规则求解了有界空心柱形区域上的Laplace方程Cauchy (?)问题,并给出相应的显式误差估计.数值试验表明了所使用的正则化方法的有效性.对含有多个独立自变量的未知源识别问题和方程中带有时空变系数的反向热传导问题,本文采用变分结合共轭梯度方法进行研究,并尽可能给出了必要的理论分析.在将原问题转化为优化问题后,从理论上证明了极小化泛函解的唯一性并求出泛函的梯度表达式,数值上也取得了很好的效果.本文还从数值模拟的角度对用预测-校正方法求解一些困难的不适定问题进行了初步探索,分别解决了Robin系数识别问题和不完全边界的热源识别问题.此外,文中用不同类型的数值例子验证了所用求解方法的有效性.

中文摘要	第3-4页
Abstract	第4-5页
第一章前言	第8-18页
1.1 反问题与不适定问题简介	第8-9页
1.2 正则化方法	第9-11页
1.3 本文的主要工作	第11-18页
第二章高维柱形区域上的Laplace方程Cauchy问题	第18-52页
2.1 半无界柱体	第18-31页
2.1.1 问题(P_1)的解的表达式及不适定性分析	第20-23页
2.1.2 Fourier正则化方法和误差估计	第23-25页
2.1.3 修正Tikhonov正则化方法和误差估计	第25-29页
2.1.4 数值试验	第29-31页
2.2 有界空心柱体	第31-52页
2.2.1 问题(2.2.1 )的不适定性分析	第36-39页
2.2.2 截断正则化方法和误差估计	第39-44页
2.2.2.1 先验参数选取规则	第40-41页
2.2.2.2 后验参数选取规则	第41-44页
2.2.3 数值试验	第44-52页
第三章变分结合共轭梯度方法求解多变量复杂问题	第52-86页
3.1 一般源项识别问题	第52-66页
3.1.1 预备知识	第52-55页
3.1.2 变分方法	第55-62页
3.1.2.1 方法描述	第55-57页
3.1.2.2 伴随问题和梯度方程	第57-60页
3.1.2.3 正则化和离散化	第60-62页
3.1.3 数值试验	第62-66页
3.2 反向热传导问题	第66-86页
3.2.1 算子方程的推导	第67-71页
3.2.2 优化结合正则化求解算子方程	第71-75页
3.2.2.1 变分方法	第71-74页
3.2.2.2 正则化和离散化	第74-75页
3.2.3 数值试验	第75-86页
第四章求解不适定问题的预测-校正方法	第86-104页
4.1 Robin系数识别问题	第86-93页
4.1.1 问题描述	第87-88页
4.1.2 预测-校正方法	第88-90页
4.1.3 数值试验	第90-93页
4.2 未知源识别问题	第93-104页
4.2.1 问题描述	第93-94页
4.2.2 预测-校正方法	第94-96页
4.2.3 求解非特征Cauchy问题的基本解方法	第96-99页
4.2.4 数值微分的截断方法	第99-101页
4.2.5 数值试验	第101-104页
第五章总结与展望	第104-106页
参考文献	第106-116页
在学期间的研究成果	第116-118页
一、获奖情况	第116页
二、发表文章	第116-118页
致谢	第118-119页

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论文编号ABS559568，这篇论文共119页

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