本文的主要目的是研究平面动力系统中8-形同宿轨道附近的同宿轨分支性质。在一个鞍点附近，相应的稳定流形和不稳定流形的四个分支如果能同时组成两个简单的同宿轨道，我们就称之为8-形同宿轨道，如图1所示 8-形同宿轨道是一个余维-2的分支。在它附近会产生非常丰富的分支现象，对这一现象的研究已经有了很多的工作，见[1]-[10]。在实际应用中都出现了许多8-形同宿轨道。 在文献[8]中，Guckenheimer研究了一个搅拌箱反应器的数学模型。这个模型是一个平面自治系统，非线性项是多项式。用数值模拟和试探分析的方法，他揭示了这一系统的整体分支性质，特别地，他还证明了8-形同宿轨道的存在性，给出了其附近的局部分支性质。 在一个包含两个神经元的神经网缀的模型里[9]，Giannakopoulos和Oster也发现了一个8-形同宿轨道。他们通过数值分析的方法，详细的研究了其附近的周期解分支的性质。空二极管及振荡回路的模型，他们研究系统整体的分支结构通过数值模拟，他们发现了一个8-形同宿轨道并对其附近的局部分支也进行了数值模拟. 在研究8-形同宿轨道附近的同宿轨分支性质时，我们经常会碰到两类不同的单个同宿轨道.为了区分这两种同宿轨道，同时也为本文叙述的方便，我们根据相应的稳定流形和不稳定流形的相对位置，分别为这两种不同类型的同宿轨道命名为大同宿轨道和小同宿轨道.一般来说，一个双曲平衡点处有四支稳定流形和非稳定流形.其中的一支稳定流形和一支不稳定流形重合形成一个同宿轨道.如果另外一支稳定流形和一支不稳定流形在此轨道所围的区域外，则称之为小8-形同宿轨道;如果在此轨道所围的区域内部，则称之为大8一形同宿轨道.一个小同宿轨道和一个大同宿轨道的示例见图2. 我们很容易证明，在8一形同宿轨道附近会分支出四支小同宿轨道.同时，很多实例的计算中也发现了在8一形同宿轨道附近会分支出两条大同宿轨道。本文的主要目的是要从理论上证明在8一形同宿轨道附近分支出大、小同宿轨道的存在性。同时用数值模拟的方法研究 3研究Guckenheimer在文献[s]中所提出的一个化学反应模型中8一形同宿轨道附近的局部同宿轨道(包括大同宿轨道和小同宿轨道)的分支性质。
