本文研究解大规模稀疏线性方程组的收缩和扩张Krylov子空间方法。在科学计算中,尤其是在解大规模稀疏线性方程组时,Krylov子空间方法显示出与众不同的有效性。当矩阵是对称正定时,常用的方法是具有短递推的共轭梯度方法(CG)。但是在许多情况下,系数矩阵不是对称的,这时常用的方法中有完全正交化方法(FOM)和广义最小残量方法(GMRES)。矩阵的非对称性导致这两种方法不具有短递推的性质。由于存储量和计算量的限制,这两种方法通常需要重开始。研究表明,如果系数矩阵具有模很小的特征值,那么Krylov子空间方法一般会收敛得比较慢。对重开始方法来说,Krylov子空间维数比较小,有时并不含有跟模很小的特征值对应的特征向量,或者不含有相应的好的近似向量。因此,重开始方法收敛得更慢,甚至会停滞。收缩和扩张的Krylov子空间方法正是因为这个原因而被研究者提出来。其基本思想是用跟模最小的特征值对应的近似特征向量扩张Krylov子空间,以达到收缩小特征值,从而加快收敛速度的目的。本文对收缩和扩张Krylov子空间方法作了全面的介绍,并研究了它们的收敛性。本文根据前人的思想提出了解广义Sylvester方程的完全正交化方法和最小残量方法。在此基础上把重点放在应用收缩和扩张Krylov子空间技术于Sylvester方程和广义Sylvester方程。近年来,许多人对如何快速求解这两个方程作了深入的研究,提出了不同的方法。但是据作者所知,本文提出的方法应该是解Sylvester方程和广义Sylvester方程的第一个加速方法。本文所使用的近似解空间是由两个扩张的Krylov子空间作Kronecker积得到的子空间。解空间的基表示为这两个扩张的Krylov子空间的基的Kronecker积,称为Kronecker乘积基。这种方法在具有加速收敛的同时,也比应用于线性方程组的通常的扩张Krylov子空间方法需要少很多的存储量。非常适合大规模Sylvester方程和广义Sylvestcr方程的求解。
