图像处理的超小波分析与变分方法研究
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超小波分析和变分方法是当前数学图像处理和计算机视觉等领域最具代表性的两种研究方法。超小波分析是应用现代调和分析的概念和方法以及群表示理论,在小波分析的基础上发展起来的,是小波理论的新进展。其目的旨在检测、表示、处理某些高维空间中的数据,而这些数据的某些重要特征又集中于低维子空间中。对于含线奇异、面奇异的二维或高维函数,超小波分析显示出了比小波分析更好的“稀疏”表示能力。与计算调和分析方法不同,变分方法是图像处理中的另一有效工具,在图像去噪、图像增强、边缘检测等方面已经取得很多成功的应用。本文以图像处理为应用背景,围绕超小波分析和变分方法进行了一些有益的探索和研究,并取得了初步的研究成果。主要研究结果如下:1、讨论了曲线波变换和反应扩散方程,并结合曲线波变换和反应扩散方程提出两种图像去噪算法。详细讨论Nordstr m能量泛函极小化问题,从Nordstr m能量泛函的欧拉方程出发,通过重新定义合适的控制函数提出一种新型反应扩散滤波器模型和图像去噪算法。该滤波器模型不是直接求解偏微分方程或者是泛函极值,而是求解数字形式的非线性代数方程组,求解过程简单。讨论了模型的优缺点,通过引入平滑算子和新的扩散函数对该模型进行了改进,有效克服了反应扩散数字滤波过程中的斑点噪声和扩散系数的病态。分析了该滤波器模型的迭代过程,从理论上证明了该滤波器模型的性质和滤波迭代算法的收敛性。数值实验表明所给滤波器模型对不同类型、不同程度噪声污染的图像都有较好的处理效果。为了抑制曲线波变换去噪中出现的“虚假”效应和去除反应扩散数字滤波过程的斑点噪声,提出一种结合曲线波变换和新型反应扩散滤波器模型的图像去噪算法。实验结果表明,所提算法在有效去噪和保持边缘的同时,一定程度上也克服了曲波变换本身的伪Gibbs效应和类曲波伪曲线现象,视觉效果较好。2、讨论了波原子变换的基本特征、构造及数值实现,研究了波原子在图像处理中的应用。提出两种基于波原子变换的图像去噪算法。一种是基于波原子系数全变差最小的图像去噪算法。由于硬阈值算子的不连续性和波原子变换的FFT周期化过程,在去噪图像的不连续点附近产生了新方向性纹理失真和伪Gibbs震荡,而全变差正则化可以抑制这些震荡。将超小波分析和变分方法有机地结合起来,提出了基于波原子系数全变差最小化的图像去噪算法。该算法首先对降质图像利用波原子变换和非线性阈值,然后根据保留的变换系数确定可行域建立模型,最后利用投影梯度算法对其进行求解。实验结果表明,所提算法在有效抑噪和保持边缘的同时,能够有效地抑制伪吉布斯震荡,取得较为理想的视觉效果。另一种是基于Cycle Spinning思想的波原子变换图像去噪算法。由于波原子变换不具有平移不变性,对系数阈值后会产生伪Gibbs现象,而Cycle Spinning可以很好地避免这些失真。将波原子变换和Cycle Spinning有效结合,提出了基于CycleSpinning的波原子变换图像去噪算法。实验结果表明,所提算法可以很好地减少图像在波原子阈值去噪过程中出现的伪Gibbs现象,且能更多地保留图像的纹理细节,视觉效果明显地较曲线波、小波方法要好。3、基于对偶树复小波变换,提出一种图像质量评价的结构相似性指标。对图像采用小波变换进行多分辨率分析,可以将图像分解为不同尺度下的子带图像,这样图像的边缘结构就表达成不同尺度下的小波系数。对偶树复小波变换具有平移不变性和更好的方向选择性,可以更好地表达图像的细节与边缘信息。针对SSIM指标对平移、尺度变化和旋转非常敏感的缺点,提出了基于对偶树复小波变换的结构相似度指标。通过几个数值实验验证了所提指标对平移、尺度和旋转变化的鲁棒性,在图像去噪的应用说明了所提指标的有效性。4、通过考虑不同的图像空间,详细分析了图像调和修补、全变差修补算法的误差。重点讨论了基于小波的图像修补问题的三个模型:图像的全变差小波修补、基于曲率驱动的小波域图像修补及小波域图像修补的空域实现算法,并对这三种算法进行仿真实验。数值仿真实验表明,TV模型选择全变差的最小化来推进图像修补的进程,也能系统性地抑制图像中的噪声;曲率驱动的小波域图像修补利用曲率正则化标准惩罚了边缘线的长度和曲率沿边缘线的积分,保证了边缘线曲率的连续性;小波域图像修补的空域实现算法是利用空域的全变差修补技术完成小波域丢失系数的图像修补。
作者简介 | 第3-4页 |
摘要 | 第4-6页 |
ABSTRACT | 第6-8页 |
第一章 绪论 | 第12-34页 |
1.1 图像处理的数学模型 | 第12-14页 |
1.2 超小波分析及变分图像处理 | 第14-22页 |
1.2.1 小波理论发展概述 | 第14-16页 |
1.2.2 超小波分析的发展 | 第16-19页 |
1.2.3 变分PDE图像处理 | 第19-22页 |
1.3 图像的噪声与评价问题 | 第22-31页 |
1.3.1 图像噪声的分类 | 第22-24页 |
1.3.2 图像去噪的方法噪声 | 第24-27页 |
1.3.3 图像质量评价方法 | 第27-31页 |
1.4 本论文的主要研究工作 | 第31-34页 |
第二章 基本理论介绍 | 第34-54页 |
2.1 函数的度量空间 | 第34-38页 |
2.2 图像的表示与逼近 | 第38-42页 |
2.2.1 图像的表示 | 第38-39页 |
2.2.2 线性逼近 | 第39-40页 |
2.2.3 非线性逼近 | 第40-41页 |
2.2.4 图像去噪原理 | 第41-42页 |
2.3 超小波分析方法 | 第42-54页 |
2.3.1 小波变换 | 第42-44页 |
2.3.2 Ridgelet变换 | 第44-48页 |
2.3.3 Curvelet变换 | 第48-50页 |
2.3.4 波原子变换 | 第50-51页 |
2.3.5 复小波变换 | 第51-54页 |
第三章 基于曲线波和反应扩散方程的图像去噪算法 | 第54-76页 |
3.1 引言 | 第54页 |
3.2 反应扩散滤波器模型及改进 | 第54-64页 |
3.2.1 Nordstr m能量泛函极小化 | 第54-56页 |
3.2.2 基于图的数字滤波 | 第56-58页 |
3.2.3 改进的反应扩散滤波器模型与滤波算法 | 第58-60页 |
3.2.4 仿真实验与分析 | 第60-64页 |
3.3 迭代滤波器模型的性质与迭代算法的收敛性 | 第64-70页 |
3.3.1 迭代滤波器模型的性质 | 第64-65页 |
3.3.2 滤波器模型迭代算法的收敛性 | 第65-68页 |
3.3.3 反应扩散滤波器模型的推广 | 第68-70页 |
3.4 结合曲线波的反应扩散滤波算法 | 第70-75页 |
3.4.1 第二代曲线波 | 第70-72页 |
3.4.2 结合曲线波的反应扩散滤波算法 | 第72-73页 |
3.4.3 仿真实验与分析 | 第73-75页 |
3.5 小结 | 第75-76页 |
第四章 基于波原子变换的图像去噪算法 | 第76-92页 |
4.1 引言 | 第76-77页 |
4.2 波原子理论 | 第77-80页 |
4.2.1 波原子的定义 | 第77页 |
4.2.2 波原子的构造及变换系数 | 第77-80页 |
4.3 波原子在图像处理中的应用 | 第80-84页 |
4.3.1 波原子硬阈值去噪算法 | 第80页 |
4.3.2 仿真实验与分析 | 第80-84页 |
4.4 结合全变差最小的波原子去噪算法 | 第84-87页 |
4.4.1 全变差正则化模型 | 第84-85页 |
4.4.2 结合全变差最小的波原子去噪算法 | 第85-86页 |
4.4.3 仿真实验与分析 | 第86-87页 |
4.5 结合循环平移的波原子去噪算法 | 第87-91页 |
4.5.1 循环平移(Cycle Spinning)思想 | 第88-89页 |
4.5.2 结合Cycle Spinning的波原子去噪算法 | 第89页 |
4.5.3 仿真实验与分析 | 第89-91页 |
4.6 小结 | 第91-92页 |
第五章 基于复小波变换的图像质量评价指标 | 第92-108页 |
5.1 引言 | 第92-93页 |
5.2 传统图像质量评价指标 | 第93-97页 |
5.2.1 基于强度的相似性指标 | 第93-95页 |
5.2.2 基于几何的相似性指标 | 第95-96页 |
5.2.3 结构相似性指标(SSIM) | 第96-97页 |
5.3 复小波域结构相似性指标 | 第97-101页 |
5.3.1 基于复小波的结构相似度指标 | 第97-99页 |
5.3.2 CW-SSIM指标的敏感度分析 | 第99-101页 |
5.4 CW-SSIM指标的检验 | 第101-106页 |
5.4.1 CW-SSIM指标的鲁棒性 | 第101-105页 |
5.4.2 CW-SSIM指标在图像去噪中的应用 | 第105-106页 |
5.5 小结 | 第106-108页 |
第六章 图像修补的误差分析与小波修补方法 | 第108-128页 |
6.1 图像修补方法的误差分析 | 第108-115页 |
6.1.1 光滑函数调和修补的误差分析 | 第108-112页 |
6.1.2 分段常数图像全变差修补的误差分析 | 第112-114页 |
6.1.3 有界变差图像全变差修补的误差分析 | 第114-115页 |
6.2 小波域图像修补模型与算法 | 第115-122页 |
6.2.1 小波域全变差图像修补模型与算法 | 第116-119页 |
6.2.2 基于曲率驱动的小波域图像修补模型与算法 | 第119-122页 |
6.3 小波域图像修补的空域实现算法 | 第122-123页 |
6.4 仿真实验分析 | 第123-126页 |
6.5 小结 | 第126-128页 |
第七章 总结与展望 | 第128-130页 |
致谢 | 第130-132页 |
参考文献 | 第132-142页 |
攻读博士学位期间论文及科研情况 | 第142-144页 |
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