一类非线性偏微分方程组的差分方法及在污水处理模拟中的应用

物理、化学、生物、地质等领域的很多模型都可归结为线性或非线性偏微分方程的定解问题。对于一个非线性偏微分方程，要想求出其精确解析解是相当困难的，于是只好转而去求其数值解。虽然偏微分方程数值解法的发展由来已久，但发展一直很慢，主要是由于人们受计算能力的限制。但直到20世纪70年代以来，随着计算机的高速发展，人们的计算能力大大增强，研究热点也逐渐转向非线性科学领域，非线性偏微分方程的数值解问题便是其中很重要的一方面。人们在实践当中，对于微分方程定解问题，发展了很多方法，包括方法、各种混合元、边界元、无限元法及上世纪八十年代兴起的小波分析法，但应用最多的还是有限元法和有限差分法。其中有限差分法的思想就是直接用各阶差商来代替微分方程中的各阶导数，根据具体问题和所选择的差分格式的不同，加上适当的初边值条件，便形成一个线性或非线性的代数方程组。差分方法的首要问题就是构造合理的差分格式，使得它的解保持原问题的某些主要性质，并且又足够精确。一个好的和实用的差分格式应满足相容性、稳定性和收敛性。本文主要考虑一类如下形式的具有代表性的非线性耦合偏微分方程组初边值问题：，　　　　 ， 其中：是维未知向量函数,是阶正定系数矩阵，是维向量函数，其中和属于矩形域： <WP=57>是维已知向量函数。 针对上述形式微分方程定解问题，构造如下的差分格式，，在适当的条件下给出稳定性的证明。 对于上述定解问题，若采用隐式差分格式，便得到一个非线性的差分方程组，这就涉及到非线性方程组数值解法问题，于是在第三章中简要介绍了非线性方程组的迭代方法，并针对如下形式的阻尼参数型迭代格式，， 给出并证明了其收敛性的的充要条件。 最后，利用前述格式，实际应用当中我们对污水处理过程中的三氮进行了数值模拟。结果表明，数值解具有较好的收敛性和模拟效果，从而说明了所采用的差分格式和求解非线性差分方程的阻尼参数下降差分格式具有较高的实用价值。