具有线性约束的块可分凸优化问题经常出现于多任务学习、图像处理、工程管理、压缩感知、信号消噪等各个领域.如何求解这类问题引起了学者的广泛注意.这类具有线性约束的块可分凸优化问题的目标函数是多个凸函数之和,且每个凸函数所包含的变量与其它凸函数没有交叉项.处理这类问题的一种有效求解方法是交替方向乘子法(the Al-ternating Direction Method of Multiplier,ADMM).该方法源自 增广拉格朗日 乘子法(the Augmented Lagrange Multiplier method,ALM)和邻近点算法(the Proximity Point Al-gorithm,PPA).虽然交替方向乘子法对具有两块变量的块可分凸优化问题具有收敛性,但对于具有三块或者多块变量的块可分凸优化问题,该方法不一定收敛.在目标函数具有m-2个强凸函数的条件下,该算法是收敛的,这里m代表变量块的个数,但强凸性的要求很高.在交替方向乘子法的基础上,已有众多学者通过把该方法得到的点作为预测点,然后再进行校正得到新的迭代点,在不要求强凸性的情况下,建立了这类算法的收敛性.这种算法称为预测-校正分解算法.本篇论文考虑具有线性约束、目标函数分为三块的凸优化问题的求解.针对这种问题,在预测-校正分解算法的框架下,本文提出了三种新的算法,分别是基于ADMM的预测-校正分解算法(简称“NEW1”)、局部并行的预测-校正分解算法(简称“NEW2”)和完全并行的预测-校正分解算法(简称“NEW3”),并在适当的假设条件下证明了这些算法是收敛的.本篇论文给出的数值算例表明了这些算法的有效性.论文主要内容安排如下:第一章主要介绍了具有线性约束的块可分凸优化问题的研究背景和叙述这类问题的两种算法,同时对论文的主要工作进行了简要叙述.第二章简要地介绍了本文中所涉及到的一些常用符号、引理和定义等.第三章在预测-校正分解算法的框架下提出基于ADMM的预测-校正分解算法(简称“NEW1”),同时给出了该算法的收敛性证明,并进行了数值试验,在分析算例数值结果的基础上,说明了该算法的有效性.第四章在预测-校正分解算法的框架下提出局部并行的预测-校正分解算法(简称“NEW2”),同时给出了该算法的收敛性证明,并进行了数值试验,在分析算例数值结果的基础上,说明了该算法的有效性.第五章在预测-校正分解算法的框架下提出了完全并行的预测-校正分解算法(简称“NEW3”),同时给出了该算法的收敛性证明,并进行了数值试验,在分析算例数值结果的基础上,说明了该算法的有效性.第六章对本文的研究工作进行一个总结,同时对今后的研究工作做出展望.
