求解非光滑约束方程组的非精确光滑化Levenberg-Marquardt算法的收敛性分析

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本文主要提出一个求解非光滑约束方程组的非精确Levenberg-Marquardt算法,并研究了其收敛性。非光滑约束方程组有许多广泛应用,非线性互补,变分不等式,半无限规划等问题,均可以转化成此问题。非光滑约束方程组的求解问题是一个在最优化领域中非常重要的研究课题。此问题大量出现在工程技术和科学实验之中,并在众多领域中都有着极其广泛的应用。此外,它与优化中的其他问题也有着密切的联系。传统的(非精确)Levenberg-Marquardt算法是求解光滑(即连续可微)方程组的经典、有效的算法之一,且主要应用于无约束方程组的求解。但是,在许多实际情况下,针对非光滑约束方程组,由于相关函数(包括确定约束集的函数)均不具有光滑性质,并且在计算大规模问题时计算误差有可能出现,而且需要消耗大量的时间,精确的光滑化Levenberg-Marquardt算法和传统的非精确Levenberg-Marquardt算法都不能直接使用。于是,我们提出了一种求解非光滑约束方程组的非精确光滑化Levenberg-Marquardt算法。本文中我们首先回顾了Levenberg-Marquardt算法的演变过程,并分析了现有主要算法的优缺点。其次,提出了带非光滑约束方程组的求解问题,并将该问题转化为等价的无约束方程组,利用光滑化技术逼近转化而得的方程组。在此基础上,我们给出了非精确Levenberg-Marquardt算法,并着重分析其收敛性质。首先,我们给出一个单位步长下的非精确光滑化Levenberg-Marquardt算法。此算法在局部误差界条件下,具有超线性收敛或二次收敛性质。然后,我们进一步给出了一个Armijo步长下的非精确光滑化Levenberg-Marquardt算法,此算法具有全局收敛性质。在局部误差界条件下,Armijo步长下的非精确光滑化Levenberg-Marquardt算法仍然具有超线性收敛性质。
摘要第5-6页
ABSTRACT第6页
1. 引言第8-18页
    1.1 问题描述第8页
    1.2 研究目的及意义第8-9页
    1.3 国内外研究现状和发展趋势第9-17页
    1.4 本文的主要内容第17-18页
2. 预备知识第18-25页
    2.1 范数和 Jacobi 矩阵第18页
    2.2 下降方向及线搜索第18-20页
    2.3 半光滑函数和光滑化逼近第20-21页
    2.4 算法的评价指标第21-22页
    2.5 光滑化 Levenberg-Marquardt 算法第22-24页
    2.6 本章小结第24-25页
3. 具有单位步长的非精确光滑化 Levenberg-Marquardt 算法第25-36页
    3.1 光滑化函数及其性质第25-29页
    3.2 单位步长下的非精确光滑化 Levenberg-Marquardt 算法第29-30页
    3.3 算法的收敛性分析第30-35页
    3.4 本章小结第35-36页
4. 全局收敛的非精确光滑化 Levenberg-Marquardt 算法第36-42页
    4.1 算法的提出第36页
    4.2 算法的收敛性分析第36-41页
    4.3 本章小结第41-42页
5. 总结与展望第42-43页
致谢第43-44页
参考文献第44-48页
附录第48页
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