本文围绕微分算子谱的离散性、奇异Sturm-Liouville问题的自共轭边界条件参数变化对特征值分布的影响、边界条件含有谱参数的奇异Sturm-Liouville问题的谱性质及正则逼近理论等三个专题展开讨论.2n阶实系数奇异对称微分算式生成的自共轭微分算子的谱是实的,一般的,不仅包括离散谱也包含本质谱,由于最小算子的任何自共轭扩张的本质谱是相同的,因此谱的离散性只与微分方程的系数有关,与自共轭边界条件是无关的.1953年苏联数学家Molchanov发表了著名的二阶微分算子谱的离散性判别准则以来,国际数学界的数学工作者在谱的离散性方面取得了丰硕的成果,同时也提出了许多新问题,在这方面的研究和讨论至今方兴未艾,还有许多问题亟待解决.本文将利用算子理论中的一些经典方法如Sobolev嵌入的紧性、分解原理以及微分方程解的振荡原则等多种方法从不同的角度讨论微分算子的谱性质,给出微分算子谱离散的新结果.利用这些结果可以容易的判别微分算子谱的离散性与下半有界性.对于二阶Sturm-Liouville问题,无论是正则情形还是极限圆非振荡情形,边界条件参数变化都影响着特征值的分布.对于极限点型Sturm-Liouville问题,边界条件参数变化对特征值分布的影响是显著的.一般的,边界条件参数变化不仅影响着特征值的大小,还影响着特征值的存在性问题.本文我们利用微分方程特征函数的振荡性质、谱族理论及极限点型Sturm-Liouville微分算子特征值的正则逼近理论等,讨论本质谱下方特征值的存在性问题,研究特征值依边界条件参数变化的连续依赖性和可微依赖性,给出不同自共轭边界条件下特征值间的不等式等一系列全新的结果.这些研究为进一步讨论极限点型二阶微分算子谱的性质及利用计算机程序进行特征值的数值计算提供了重要的理论基础.进一步,我们考虑了边界条件含有谱参数的奇异Sturm-Liouville问题.证明了此问题的本质谱与边界条件不含谱参数的Sturm-Liouville问题的本质谱是一致的,构造了遗传的正则算子序列,得到了算子的正则逼近理论和特征值的正则逼近理论.对于两个端点都奇异且边界条件含谱参数的情形,我们建立了新的Hilbert空间和新的算子,证明了此算子为Hilbert空间上的自共轭算子,借助于新空间和新算子并结合自共轭算子的有关理论,给出了问题的谱性质.全文共分为七个部分：一、本文所研究问题的背景与本文的主要结果;二、Sobolev嵌入与微分算子谱的离散性；三、分解原理与微分算子谱的离散性；四、微分方程解的振荡性与谱的离散性；五、奇异Sturm-Liouville问题的特征值；六、一端正则且边界条件含有谱参数的奇异Sturm-Liouville问题及其正则逼近；七、两端奇异且边界条件含有谱参数的Sturm-Liouville问题.
