标号着色是从频道分配问题中抽象出来的一种图着色概念。与经典的图着色相比,它不仅要求图中相邻元素的着色有着明显的差别,同时还要求图中不相邻元素的着色有所不同。图G的距离二标号着色也即L(j,k)-标号,有整数距离二标号(j,k为非负整数)和实数距离二标号(j,k为非负实数)两种模式。它们分别是定义在V(G)→{0,1,2,3,…}和V(G)→[0,+∞)上的函数f,满足条件：(1)|f(u)-f(v)|≥j,若uv∈E(G)；(2) |f(u)-f(v)|≥k,若d(u,v)=2。图G的L(j,k)-标号着色数λj,k(G)=minf max{f(v): v∈V(G)}。随着图着色问题研究的不断深入,各种各样的图着色的变形和推广出现并被广泛研究,诸如有缺陷着色、非正常着色、荫度等等,它们都可看作是对图的正常着色的放松。着色放松问题实际上还有很多问题值得深入挖掘和思考。标号着色的放松问题在理论上就值得研究,同时它也有实际应用价值。为解决频道分配问题,需要选取合适的数学模型,合理地分配稀缺并且有限的频道资源。放松的距离二标号着色是更为合适的频道分配问题的数学模型。假设G是一个图,f：V(G)→{0,1,2，...]是一个映射,s,t是两个非负整数。若对于G的任何两个相邻顶点u,v,f(u)≠f(v)；对于G的任何顶点u,至多有s个u的邻点标号属于集合{f(u)-1,(u)+1},至多有t个u的2-邻点的标号等于f(u),则称f是图G的(s,t)-放松的L(2,1)-标号。记f的跨度为span(f),表示图中顶点的最大标号和最小标号的差。图的(s,t)-放松的L(2,1)-标号的最小跨度定义为图的(s,t)-放松的L(2,1)-标号着色数,记为λ2,1s,t(G)。图的(s,t)-放松的L(2,1)-标号是对图的整数L(2,1)-标号作出相应的放松而产生的新的图标号概念。假设G是一个图,f：V(G)→[0,+∞)是一个映射,s,t是两个非负整数,j,k是实数并且j>k≥1。若对于任一顶点u,至多s个u的邻点标号属于(f(u)-j,f(u)-k]∪ [f(u)+k,f(u)+j),其他邻点的标号属于[0,f(u)-j]∪[f(u)+j,+∞)；至多t个u的2-邻点的标号属于(f(u)-k,f(u)+k),u的其他2-邻点的标号属于[0,f(u)-k]∪[f(u)+k,+∞),则称f是图G的(s,t)-放松的L(j,k)-标号。图的(s,t)-放松的L(j,k)-标号着色的最小跨度定义为图的(s,t)-放松的L(j,k)-标号着色数,记为λj,ks,t(G)。图的(s,t)-放松的L(j,k)-标号这一概念是通过对图的实数L(j,k)-标号作出相应的放松而产生的。若d＝j/k,则λj,ks,t(G)=kλd,1s,t(G)。图的(s,t)-放松的L(j,k)-标号和图的(s,t)-放松的L(d，1)-标号可以相互转化。网格图(六边形网格图、四边形网格图以及三角形网格图)是频道分配问题中干扰图的理想模型。本文主要考虑各种网格图的(s,t)-放松的L(2,1)-标号着色以及(s,t)-放松的L(d,1)-标号着色问题,研究并得出了它们的一些基本性质,讨论了它们的所有可能的(s,t)-放松的情形。确定了三种网格图的所有s,t情形下的(s,t)-放松的L(2,1)-标号着色数,确定了六边形网格图的所有s,t和任意d>1情形下的(s,t)-放松的L(d,1)-标号着色数,确定了四边形网格图的几乎所有s,t和任意d>1情形下的(s,t)-放松的L(d,1)-标号着色数(除了s＝0,t＝1,1<d<2这一情形以外),确定了三角形网格图的大多数情形下的(s,t)-放松的L(d,1)-标号着色数以及其余情形下的(s,t)-放松的L(d,1)-标号着色数的界。这些结果给相应的频道分配问题提供了一系列的频道分配方案。
